Зубчатая передача. Прочность цилиндрических зубчатых колёс

Система номограмм - графоаналитический расчет зубчатой передачи на контактную прочность

При данном расчете зубчатого колеса на прочность должно удовлетворятся условие: контактные напряжения в зубьях s_H равны или меньше допускаемых [s_H]. Так как выкрашивание начинается на ножке зуба, расчёт ведут для зубчатого зацепления в полюсе.

Для расчёта используется формула Герца (сжатие цилиндров вдоль образующих):

s_H = Z_E · [w_n/r_пр] < [s_H],                                                  [1]

где

Z_E - коэффициент, учитывающий механические свойства материалов шестерня и колеса зубчатой передачи,

w_n - нормальная нагрузка на единицу длины контактных линий,

1/r_пр - приведенная кривизна.

Итак,

Для стальных зубчатых колёс Z_E = 190 МПа^1/2 , Е₁ = Е₂ = 2,1 · 10⁵ МПа, n₁ = n₂ = 0,3.

Суммарная длина контактных линий L_S меняется в процессе зацепления от рабочей ширины венца зубчатого колеса b_w (в зоне однопарного зубчатого зацепления) до 2 · b_w (в зоне двухпарного зацепления). На основании экспериментальных данных получена зависимость:

L_S ⁼ b_w / Z_e²,                                                                       [5]

где Z_e - коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий:

Z_e = [(4 - e_a)/3]^0,5,                                                              [6]

где e_a- коэффициент торцевого перекрытия, равный отношению угла поворота зубчатого колеса от входа в зацепление торцевого профиля его зуба до выхода из зацепления, к угловому шагу 2·p/z. Для зубчатых передач без смещения исходного профиля приближенное значение коэффициента перекрытия рассчитывается по формуле:

e_a= 1,88 - 3,2 · (1/Z₁ ± 1/Z₂),                                               [7]

где Z1 и Z2 - количество зубьев шестерни и колеса цилиндрической зубчатой передачи.

При изменении коэффициента перекрытия от 1,25 до 1,9 коэффициент Z_e меняется от 0,84 до 0,96. Для приближенных расчётов принимают среднее значение Z_e = 0,9 при e_a=1,6.

При расчете зубчатой передачи на прочность нормальную к поверхности зуба силу выразим через отношение окружной составляющей силы, направленной  вдоль оси Х, и косинуса угла между направлением силы и её окружной составляющей:

F_n = F_t / cos a_t ,                                                        [8]

где  F_t - окружная составляющая силы:

F_t =2 · 10³ T / d ,                                                    [9]

где Т - передаваемый момент, Н · м; d - делительный диаметр, мм.

С учётом формул [5]  и  [7] формула для определения нормальной нагрузки на единицу длины контактных линий [3] примет вид:

 w_n = К_Н · F_t · Z_e / [b_w · cos a_t],                                          [10]

Радиусы кривизны профилей зубьев шестерни и колеса зубчатой пары:

r₁=0,5  · d_w1  · sin a_tw,                                            [11]

r₂=0,5  · d_w2  · sin a_tw,                                                       [12]

Принимаем:

d_w = d  ·  cos a_t / cos a_tw,

Тогда формула для расчёта приведенного радиуса кривизны [4] примет вид:

1/r_пр = [2 ·  (i ±1)]/ [d₁ · i · cos a_t  · tg a_tw].                       [13]

 Получим формулу для расчёта прямозубых зубчатых передач без смещения исходного контура   (a_tw = a_t = a)  на контактную прочность: 

s_H = Z_E · Z_e · Z_Н · [(К_Н · F_t / d₁ · b_w)  · (i ± 1)/u]^0,5  < [s_H], [14]

где i - передаточное число, d₁- делительный диаметр, Z_Н - коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев.

Z_Н = (1/cos a_t) · (2/tga_tw)^0,5                                                                  [15]

Для зубчатых передач без смещения исходного контура Z_Н =2,5.

В формуле [13] все составляющие выбираются или рассчитываются при проектном расчёте зубчатой передачи на прочность. Неизвестным остаётся лишь коэффициент нагрузки К_н. Итак, коэффициент нагрузки, используемый для расчёта на контактную прочность зубчатого зацепления, определяется по формуле: 

К_Н = К_НА · К_Нv · К_Нb · К_Нa ,                                               [16]

где

К_НА - коэффициент внешней нагрузки,

К_Нv - коэффициент внутренней динамической нагрузки,

К_Нb - коэффициент концентрации или неравномерности нагрузки по длине контактной линии,

К_Нa - коэффициент распределения нагрузки между зубьями.

Для предварительных расчётов допускается К_Н = 1,3 ... 1,5. Меньшие значения выбираются для более точных передач и при удалении от опор, большие - для менее точных зубчатых передач и при расположении рядом с опорами.

Рассмотрим перечисленные четыре коэффициента, используемые при расчете на прочность зубчатой передачи. 

Коэффициент внешней динамической нагрузки К_НА:

- при равномерном нагружении - 1,

- при малой неравномерности - 1,25,

- при средней неравномерности - 1,5,

- при значительной неравномерности - 1,75.

Коэффициент внешней динамической нагрузки К_Нv в зависимости от окружной скорости, степени точности и твердости зубьев:

Примечание - В числителе стоят значения для закалённых зубьев, в знаменателе - для незакалённых зубьев зубчатого колеса. 

Коэффициент концентрации или неравномерности нагрузки по длине контактной линии К_Нb для зубьев с твёрдостью меньшей 350 НВ находится в диапазоне 1...1,35, для зубьев с твёрдостью большей 350 НВ находится в диапазоне 1...1,5. Значение, равное 1, возможно только в прямозубых передачах при идеально точном изготовлении и при абсолютно жестких валах и опорах. Концентрация нагрузки тем больше, чем больше перекос ваалов зубчатых колёс, чем больше их ширина и чем меньше жесткость шестерен и т.д. Существуют методики, позволяющие получить относительно точное значение данного коэффициента, учитывающие все перечисленные факторы. Однако, все учесть достаточно трудно при проектном расчёте зубчатой передачи на прочность, поэтому предлагается предварительно принять для первого случая пониженной твёрдости К_Нb=1,2 и для случая повышенной твёрдости К_Нb=1,3.

При расчете зубчатой передачи на прочность коэффициент распределения нагрузки между зубьями К_Нa для усреднённого случая рассчитывается по формуле:

К_Нa = 1 + 0,06 ·  (n_ст - 5),                                    [17]

где n_ст - степень точности зубчатого колеса.

При твёрдости зубчатого колеса и шестерни более 350НВ принимают К_Нa = 1.

 Система номограмм - графоаналитический расчет зубчатой передачи на контактную прочность

Web-сайт "ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ".              Контактная информация. E-mail: nomogramka@gmail.com

Copyright © 2005-2022 г. Все права защищены.