На главную  (The main) Выбор раздела   (Parts) Выбор расчета   (Shaft) Карта номограмм  Справочная информация

Прогиб балки под нагрузкой
Графоаналитический расчет прогиба металлического бруса (трубы) круглого или квадратного профиля

       В данном разделе рассматриваются четыре вида нагрузок и четыре различных формы сечения металлической балки - квадратная труба, круглая труба, квадратный сплошной брус, круглый сплошной брус.

Расчитаны (приведены расчетные формулы): момент сопротивления, момент инерции, изгибающий момент, максимальная нагрузка (допустимая нагрузка), прогиб (изгиб).

С помощью графоаналитического расчета выполняется подбор геометрических параметров металлической балки круглого или квадратного профиля под заданную максимальную нагрузку.

       Для указанных профилей момент сопротивления  W и момент инерции J определяются по следующим зависимостям:

- для бруса с поперечным сечением квадратной формы (вариант 1):

W = h03 / 6,                                           J = h04 / 12;

- для бруса с поперечным сечением круглой формы (вариант 2):

W = 0,0982 · d03,                                       J = 0,0481 · d04;

- для трубы квадратного профиля (вариант 3):

W = [ h04 -h14 ] / 6 · h0,                      J = [ h04 - h14 ] / 12;

- для трубы круглого профиля (вариант 4):

W = 0,0982 · [ d04 - d14 ] / d0,            J = 0,0491 · [ d04 - d14 ].

 Допустимая нагрузка  Fmax,  изгибающий момент  М  и  прогиб  у  в наиболее опасном сечении определяются по формулам:

- для варианта 1:

M1 = F · L,             F1max = s· W / L,            y = F · L3 / [ 3 · E · J];

- для варианта  2:

M2 = F · L / 2,        F2max = 2 ·s· W / L,         y = F · L3 / [ 8 · E · J ],                 F = q · L (q - погонная нагрузка);

- для варианта 3:

M3 = F · L / 4,        F3max = 4 ·s· W / L,         y = F · L3 / [ 48 · E · J ];

- для варианта 4

M4 = F · L / 8,        F4max = 8 ·s· W / L,         y = 5 · F · L3 / [ 384 · E · J ],        F = q · L.

        Брус - это тело, у которого один из трех размеров, определяющих его габариты, (длина) значительно больше двух остальных.
              При рассмотрении процессов растяжения или сжатия брус может называться стержнем, при изгибе - балкой.
              Стержень называют тонкостенным, если отношение ширины стенок к толщине состаляет более 5...10. Поперечное сечение тонкостенного стержня называют его профилем.

        Для выбора оптимального сочетания заданной нагрузки, допустимой нагрузки, величины прогиба, материала и размеров балки, момента инерции, момента сопротивления, изгибающего момента   используем графоаналитический метод и сформируем систему номограмм.

С-ма номограмм №1.

Диапазон параметров:

F1max = 60 ... 300 kgf

F2max = 120 ... 600 kgf

F3max = 240 ... 1200 kgf

F4max = 480 ... 2400 kgf

L = 2 ... 5 m

F = 30 ... 1600 kgf

h0 = 50 ... 75 mm

h1 = 20 ... 63 mm

d0 = 55 ... 85 mm

d1 = 20 ... 70 mm

W = 6 ... 54 cm3

s=700 ... 3000 kgf/cm2

E·105 = 4 ... 21 kgf/cm2

J = 30 ... 174 cm4

С-ма номограмм  №2.

Диапазон параметров:

F1max = 10 ... 400 kgf

F2max = 20 ... 800 kgf

F3max = 40 ... 1600 kgf

F4max = 80 ... 3200 kgf

L = 1 ... 2.5 m

F = 40 ... 1800 kgf

h0 = 35 ... 65 mm

h1 = 20 ... 53 mm

d0 = 40 ... 70 mm

d1 = 20 ... 56 mm

W = 1 ... 36 cm3

s= 700 ... 3000 kgf/cm2

E·105 = 4 ... 21 kgf/cm2

J = 11 ... 138 cm4

С-ма номограмм  №3.

Диапазон параметров:

F1max = 20 ... 500 kgf

F2max = 40 ... 1000 kgf

F3max = 80 ... 2000 kgf

F4max = 160 ... 4000 kgf

L = 0.5 ... 1.1 m

F = 50 ... 1800 kgf

h0 = 25 ... 55 mm

h1 = 15 ... 46 mm

d0 = 30 ... 70 mm

d1 = 15 ... 49 mm

W = 1 ... 36 cm3

s= 600 ... 3000 kgf/cm2

E·105 = 2.5 ... 21 kgf/cm2

J = 3 ... 138 cm4

Перевод единиц:

1 кгс/см2 = 98,0665 кПа

1 кгс = 9,80665 Н

Параметры расчета балки на прогиб (изгиб)

Fmax - максимально допустимая нагрузка, кгс (kgf);

W - момент сопротивления, см3 (cm3);

s - допускаемое напряжение при изгибе, кгс/см2 (kgf/cm2);

L - длина балки, м (m);

F - усилие в опасном сечении, кгс (kgf);

E - модуль упругости, кгс/см2 (kgf/cm2);

J - момент инерции, см4 (cm4);

у - перемещение в опасном сечении при изгибе (прогиб), мм (mm);

h0 - наружный размер бруса, см (cm);

h1 - внутренний размер бруса, см (cm);

d0 - наружный диаметр трубы, см (cm);

d1 - внутренний диаметр трубы, см (cm).

Перечисленные параметры выделены на рисунке красным цветом.

 

Порядок графоаналитического расчёта балки на прогиб

1. Находим на графиках известные значения параметров (рассчитанные или начальные - в первом приближении).

2. Неизвестные значения остальных параметров находим с использованием смежных номограмм.

 

 

Примеры - расчет балки на прогиб

Пример 1. Турник - стальная труба (сталь 20Х) длиной L=1 м с наружным диаметром d0=34 мм и внутренним d1=26 мм  с нежестко закреплёнными концами. Масса спортсмена - F=100 кг. В данном случае имеем третий вариант нагружения с усилием 100 кгс.

С помощью номограммы № 1b определяем момент сопротивления для данного профиля - W=2,7 см3. Допускаемое напряжение при изгибе для данного материала трубы принимаем s=1500 кгс/см2. На номограмме № 2 находим Complex А=15100 кгс/см3. На номограмме № 1 определяем для третьей схемы нагружения значение предельного усилия F3max : 

                    F3max = 158 кг.

Далее на номограмме № 3 определяем промежуточное значение - М33·L2/4 = 33 кгс*м3. Поскольку для третьей схемы нагружения М33·L2/4 = y·J·E, находим на номограмме № 4 значение Complex B = 17 см5 (значение модуля упругости стали принимаем Е=20·105кгс/см2). С помощью номограммы № 5b определяем момент инерции для данного профиля - J = 4,5 см4. Итак, для данного момента инерции J значение перемещения (прогиб)  у = 26 мм.

В результате данного расчёта на пргиб получили следующий результат. 

Предельная нагрузка - 158 кг. Турник под весом спортсмена 100 кг прогнётся на 27 мм.

Проведём расчёт для заданных условий с помощью инженерного калькулятора. В результате точного расчёта получим:

W = 2,54 см3;    F3max=152,4 кгс;    J=4,32 cм4;    у=24 мм.

 

Пример 2. Рама с закреплёнными на ней боронами имеет  массу 900 кг. Вся конструкция консольно закреплена на нескольких балках квадратного профиля. Длина консоли 3 м. 

Выполнить расчет на прогиб балки. Определить количество балок и параметры сечения. 

 

Пример 3. Сколько мешков массой 50 кг каждый можно равномерно сложить на две трубы квадратного сечения с наружным диаметром 55 мм и внутренним - 40 мм, размещённых на двух опорах с расстоянием между ними 2,7 м? Определить прогиб труб, если уложить четвёртую часть от этого количества мешков. Задан материал труб с характеристиками - s=1300кгс/см2,    E=2x106 кгс/см2.

Принимаем количество балок равное четырём. 

Параметры профиля - h0 = 70 мм,  h1 = 50 мм.

Тогда на каждую балку приходится нагрузка 225 кгс от веса рамы с боронами (1 вариант нагружения). Выбираем материал со следующими параметрами - 
s=2200 кгс/см2,    E=2x106 кгс/см2.

Имеем четвёртую схему нагружения. Находим величину предельно допустимой нагрузки. Принимаем условие - нагрузка под мешками должна быть на ~20 % меньше предельно допустимой нагрузки. Увеличиваем полученное значение в 2 раза (по количеству труб). 
Графоаналитический метод Калькулятор Графоаналитический метод Калькулятор

W = 42 см3

J = 147 см4

F1max = 305 кг

y = 70 мм

W = 42,29 см3

J = 148 см4

F1max = 310,12 кг

у = 68,4 мм

W = 20 см3

J = 55 см4

F3max = 768 кгc

Fsym (80% F3max) = 1228,8 кгс.

Кол-во мешков - 24 шт.

F = 307 кг

y = 77 мм.

W = 19,97 см3

J = 54,9 см4

F3max = 769,2 кг

Fsym (80% F3max) = 1230,7  кгс.

Кол-во мешков - 24 шт.

F = 307,7 кг

у = 72 мм

 

 

Справочная информация для расчета балки на прогиб


Допускаемыми напряжениями называют максимальные значения расчетных напряжений, которые могут быть допущены в опасном сечении, при обеспечении необходимой в условиях эксплуатации надежности работы детали.

  Таблица 1 - Допускаемое напряжение при изгибе сталей разных марок под воздействием нагрузки (постоянной, переменной, знакопеременной) после различных видов термообработки

Материал

 

 Термическая обработка Допускаемое напряжение при изгибе, кгс/см2
нагрузка статическая переменная знакопеременная
  

Сталь 15

 Нормализация

950

800

600
Цементация с закалкой в воде и отпуск на твердость HRC 56 - 62

1500

1150

800

Сталь 35

 Нормализация

1350

1100

800
Улучшение

2100

1550

1000
Закалка в воде и отпуск на твёрдость HRC 33-43

2700

2000

1350

Сталь 45

 Отжиг

1350

1100

800

Нормализация

1550

1250

950

Улучшение

2200

1750

1300
Закалка в воде и отпуск на твёрдость HRC 38-48

3000

2200

1450

Сталь 20X

 Нормализация

1500

1150

800

Улучшение

2100

1550

1000
Цементация с закалкой в масле и отпуск на твёрдость 56-62

3000

2200

1400

Сталь 40X

 Отжиг

1800

1400

1000
Улучшение

2700

2000

1350
Закалка в масле и отпуск на твёрдость HRC 37-41

4300

3100

1900
Закалка в масле и отпуск на твёрдость HRC 46-50

5100

3700

2300

12XH3

 Нормализация

1900

1400

950

Цементация с закалкой в масле и отпуск на твёрдость HRC 55-61

3200

2400

1550

Перевод единиц: 1 кгс/см2 = 98,0665 кПа

 

  Таблица 2 - Модуль упругости различнх материалов

Материал

 Модуль упругости (модуль Юнга)

 Е·105, кгс/см2

Алюминиевый сплав литейный

Дюралюмин после отжига при 370 0С

В95-ТI  -

АК8-TI, Д16-Т  -

АМг6  -

6.7 - 7.2

7 - 7.5

7

7.2

6.8

Бакелит (без наполнителей)

0.2 - 0.6

Бронза фосфористая катанная

11.5

Титановый сплав   -  ВТ6

11.2

Железо Армко

сварочное

21

16 - 20

Магниевые сплавы  -  ВМ65-I, МА2-I

4.2

Латунь холоднотянутая

9.1 - 9.9

Медь холоднотянутая прокатная

11 - 13

Монель-металл

17.6

Свинец

1.7

Стальное литьё

17.5

Стали углеродистые

20 - 21

Стали хромоникелиевые

- 30ХГСНА

- 12Х2НВФА

20 - 21

19.5

20

Стекло

4.9 - 6.3

Текстолит

0.6 - 1

Целлулоид

0.17 - 0.2

Цинк катанный

8.4

Чугун серый, белый

ковкий

15.5 - 16 

до 15.5

Никель

21

Вольфрам

36

Золото

1.6

Нейлон

0.5

Кость

2

Стеклопластик  - АФ -10В

2.44


Модуль упругости (модуль Юнга  [Томас Юнг, 1773 - 1829] ) - коэффициент пропорциональности между F/S (усилие/площадь поперечного сечения) и относительным удлинением (растяжением) dL/L, полученный для определённого материала.


web-сайт  ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ                  Контактная информация   (e-mail): nomogramka@gmail.com

Copyright© 2005-2022 г. Все права защищены.